e等于多少在数学上(你知道数学里的“自然常数e”吗?)
在数学领域,有很多比较有趣的常数,这些常数的来历一般都经历过一场波澜壮阔的数学进化史。比如我们之前说过的圆周率π,这个数比较常见,小学阶段就能遇到。
而今天我们将要科普的是自然常数e,这个常数非常重要,它和π一样,是一个无限且不循环的小数。我们至少要在高中阶段接触到对数函数后,才会初步接触到这个数,而想要完全了解这个数,则至少要到大学学习高数阶段。
自然常数e经常出现在数学和物理学计算中,那么这么重要且特殊的一个数,它究竟是怎么来的,又有什么具体的现实意义呢?
在十八世纪初的时候,有一位数学大神,名叫欧拉。这位大家应该都不陌生,在小编心里,他绝对是人类历史上最厉害的5位数学家之一。自然常数e就是这位数学大师在解决复利问题时所提出的,因此e也被称为欧拉数。
在欧拉之前,有一位厉害的数学家雅各布·伯努利,他提出了一个他自己也无法解决的问题,这是一个关于银行复利的问题,大概意思是:
假如你在银行存了1元钱,假如年利率是100%,不考虑其他扣费,一年后你将得到:
1*(1+100%)=2元
假如半年结算一次利息,利率为之前的一半,不考虑其他扣费,一年后你将得到:
1*(1+50%)^2=2.25元
假如每个月结算一次利息,利率为1/12,不考虑其他扣费,一年后你将得到:
1*(1+1/12)^12=2.61元
假如每周结算一次利息,一年52周,利率为1/52,不考虑其他扣费,一年后你将得到:
1*(1+1/52)^52=2.69元
根据这个规律,假如我们将一年分为n个平均的时间段,那么n就是利息复利的次数,每一时间段的利息则为1/n,那么一年后的收益就是:
1*(1+1/n)^n
这时候有趣的问题出现了,复利的次数n如果变得无限大,那么收益是不是会变得无限大呢。这就是雅各布·伯努利所提出的问题,他试图回答,却无法给出一个确切的证明。
直到半个世纪后,欧拉大神横空出世,这个问题才真正得到了解答。结论是:当n趋近于无穷大的时候,(1+1/n)^n并不是趋近于无穷大,而是等于这么一个常数2.71828···,这是一个无限且不循环的小数,和圆周率一样,都是无理数。后来为了方便记录,就用字母e来表示了。
这个e就是大家现在已经习惯且常用的自然常数了,e并不是一个随意的数字,当数学越学越深,你慢慢会发现它是数学里最有用的数字之一。
当我们利用图像法绘制y=e^x的函数图像时,就会发现,对于这条函数曲线上的任意一点,其斜率也是e^x,也就是说,y=e^x的导数就是它本身。
不仅如此,这个函数图象与X轴围成的面积,也是e^x,在y=n^x这个函数里,只有当n=e的时候,这个方程才有如此神奇的性质。从这些例子里,我们不难看出,在微积分领域里,自然常数e毋庸置疑是一个重要且特殊的数字。
不仅如此,在物理学领域,自然常数e的运用也十分广泛,它通常出现在正态分布或者与波相关的公式里,比如电磁波,声波,量子波等。
除了以上实例,关于自然常数e还有一个非常著名的方程,那就是欧拉方程,也叫欧拉恒等式:e^(iπ)+1=0。
这个公式可以说是自数学开始发展以来,出现过的最美丽的公式。这个公式同时将数学中最重要的几个数字完美地联系起来了。
e=2.718128182…自然对数,代表了大自然的优美。
π=3.1415926535…圆周率,代表了时空的无限。
i=√-1,虚数单位,代表了人类的想象。
1,数字一,代表了宇宙起点。
0,数字零,代表了宇宙终点。
乘法代表结合,指数代表加成,加法代表累计,等号代表统一,这些数字在概念上看起来完全不搭边,但是却存在着如此美妙的数学关系。
如果说科学改变世界,那么数学就是改变科学的,数学是一切自然科学的基础。每一个深入研究数学的人都无不为数学的魅力而着迷。
与其他学科相比,数学却很不友好,因为数学是人类创造出来的,是非常少有的几乎完全依靠天赋的学科。勤能补拙,天道酬勤在这门学科上完全不管用,只有独一无二的天赋再配上勤奋,才能在专业数学领域小有建树。
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